Примеры вычисления неопределённых интегралов
Вычисление интеграла по таблице
Интегрирование подстановкой:
Примеры вычисления интегралов
Основная формула Ньютона – Лейбница
Вычисления подстановкой
Глава 4 Дифференциальные уравнения.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х , искомую функции у и ее производные или дифференциалы.
Символически дифференцированное уравнение записывается так:
Дифференциальное уравнение называется обыкновенным , если искомая функция зависит от одного независимого переменного.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.
Решением (или интегралом ) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Общим решением (или общим интегралом ) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.
График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:
а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:
1. Найти общее решение уравнения
o Разделив переменные имеем
Интегрируя обе части полученного уравнения:
Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо C мы написали (1/2) lnC. Потенцируя последнее равенство получим
Это и есть общее решение данного уравнения.
Литература
В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование, «Популярные лекции по математике»,
Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1.
Никольский С. М. Глава 9. Определенный интеграл Римана // Курс математического анализа. - 1990. - Т. 1.
Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. - 1998. - Т. 1. - (Курс высшей математики и математической физики).
Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - 1990. - (Курс высшей математики и математической физики).
Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб.пособие-2-е изд.перераб. и доп. М.6Наука. 1989
Колягин Ю.М. Яковлев Г.Н. математика для техникумов. Алгебра и начала анализа 1 и 2 часть. Издательство «Наукка» М., 1981г.
Щипачев В.С. Задачи по высшей математике: Учеб. Пособие для вузов. Высш. Шк. 1997г.
Богомолов Н.В практические занятия по математике: учеб. Пособие для техникумов. Высш. Шк 1997г.
Приведение к табличному виду или метод непосредственного интегрирования . С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов .
Пример
Задание. Найти интеграл $\int 2^{3 x-1} d x$
Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к табличному виду.
$\int 2^{3 x-1} d x=\int 2^{3 x} \cdot 2^{-1} d x=\frac{1}{2} \int\left(2^{3}\right)^{x} d x=$
$=\frac{1}{2} \int 8^{x} d x=\frac{8^{x}}{2 \ln 8}+C$
Ответ. $\int 2^{3 x-1} d x=\frac{8^{x}}{2 \ln 8}+C$
ссылке →
2. Внесение под знак дифференциала
3. Интегрирование заменой переменной
Интегрирование заменой переменной или методом подстановки . Пусть $x=\phi(t)$, где функция $\phi(t)$ имеет непрерывную производную $\phi^{\prime}(t)$, а между переменными $x$ и $t$ существует взаимно однозначное соответствие. Тогда справедливо равенство
$\int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \cdot \phi^{\prime}(t) \cdot d t$
Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.
Пример
Задание. Найти интеграл $\int \frac{d x}{3-5 x}$
Решение. Заменим знаменатель на переменную $t$ и приведем исходный интеграл к табличному.
$=-\frac{1}{5} \ln |t|+C=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$
Ответ. $\int \frac{d x}{3-5 x}=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$
Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →
4. Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле
$\int u d v=u v-\int v d u$
При нахождении функции $v$ по ее дифференциалу $d v$ можно брать любое значение постоянной интегрирования $C$, так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства будем брать $C=0$ .
Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.
Пример
Задание. Найти интеграл $\int x \cos x d x$
Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.
$=x \sin x+\cos x+C$
Ответ. $\int x \cos x d x=x \sin x+\cos x+C$
Интегралы онлайн на сайт для закрепления студентами и школьниками пройденного материала. Всякий раз, как только начать решать интеграл, нужно выявить его тип, без этого нельзя применять ни один метод, если не считать его табличным. Не всякий табличный интеграл виден явно из заданного примера, иногда нужно преобразовать исходную функцию, чтобы найти первообразную. На практике решение интегралов сводится к интерпретированию задачи по нахождению исходной, то есть первообразной из бесконечного семейства функций, но если заданы пределы интегрирования, то по формуле Ньютона-Лейбница остается лишь одна единственная функция, к которой нужно будет применять расчеты. Неформально интеграл онлайн является площадью между графиком функции и осью абсцисс в пределах интегрирования. Позвольте нам вычислить сложный интеграл по одной переменной и связать его ответ с дальнейшим решением задачи. Можно, что говорится, в лоб найти его от подынтегральной функции. Согласно основной теореме анализа, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию, чем помогает решать дифференциальные уравнения. Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающихся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат. Наиболее простым является интеграл Римана – это определенный интеграл или неопределенный интеграл. Неформально integral одной переменной можно ввести как площади под графика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Пытаясь найти эту площадь, можно рассматривать фигуры, состоящие из некоторого количества вертикальных прямоугольников, основания которых составляют вместе отрезок интегрирования и получаются при разбиении отрезка на соответствующее количество маленьких отрезков. Калькулятор решает интегралы c описанием действий подробно и бесплатно! Неопределённый интеграл онлайн для функции - это совокупность всех первообразных данной функции. Если функция определена и непрерывна на промежутке, то для нее есть первообразная функция (или семейство первообразных). Лучше тщательно подойти к этому делу и испытать внутреннее удовлетворение от проделанной работы. Но вычислить интеграл способ отличным от классического, порой приводит к неожиданным результатам и удивляться этому нельзя. Радует тот факт, который окажет положительный резонанс на происходящее. Список определенных интегралов и неопределенных интегралов с полным подробным пошаговым решением. Нахождение неопределенного интеграла онлайн является очень частой задачей в высшей математике и других технических разделах науки. Основные методы интегрирования. Задумайтесь о выполненных зданиях раньше, чем найдутся ошибки. Решение интегралов онлайн - вы получите подробное решение для разных типов интегралов: неопределённых, определённых, несобственных. Интеграл функции - аналог суммы последовательности. Неформально говоря, определённый интеграл является площадью части графика функции. Зачастую такой интеграл определяет, насколько тело тяжелее сравниваемого с ним объекта такой же плотности, и неважно, какой он формы, потому что поверхность не впитывает воду. Как найти интеграл онлайн знает каждый студент младших курсов. На базе школьной программы этот раздел математики также изучается, но не подробно, а лишь азы такой сложной и важной темы. В большинстве случаев студенты приступают к изучению интегралов с обширной теории, которой предшествуют тоже важные темы, такие как производная и предельные переходы - они же пределы. Решение интегралов постепенно начинается с самых элементарных примеров от простых функций, и завершается применением множества подходов и правил, предложенных еще в прошлом веке и даже намного раньше. Интегральное исчисление носит ознакомительный характер в лицеях и школах, то есть в средних учебных заведениях. Наш сайт сайт всегда поможет вам и решение интегралов онлайн станет для вас обыденным, а самое главное понятным занятием. На базе данного ресурса вы с легкостью сможете достичь совершенства в этом математическом разделе. Постигая шаг за шагом изучаемые правила, например, такие как интегрирование, по частям или применение метода Чебышева, вы с легкость решите на максимальное количество баллов любой тест. Так как же все-таки нам вычислить интеграл, применяя известную всем таблицу интегралов, но так, чтобы решение было правильным, корректным и с максимально возможным точным ответом? Как научиться этому и возможно ли это сделать обычному первокурснику в кратчайшие сроки? На этот вопрос ответим утвердительно - можно! При этом вы не только сможете решить любой пример, но и достигнете уровня высококлассного инженера. Секрет прост как никогда - необходимо приложить максимальное усилие, уделить необходимое количество времени на самоподготовку. К сожалению, еще никто не придумал иного способа! Но не все так облачно, как кажется на первый взгляд. Если вы обратитесь к нашему сервису сайт с данным вопросом, то мы облегчим вам жизнь, потому что наш сайт может вычислять интегралы онлайн подробно, при этом с очень высокой скоростью и безупречно точным ответом. По своей сути интеграл не определяет, как влияет отношение аргументов на устойчивость системы в целом. Механический смысл интеграла заключается во многих прикладных задачах, это и определение объема тел, и вычисление массы тела. Тройные и двойные интегралы участвуют как раз этих расчетах. Мы настаиваем на том, чтобы решение интегралов онлайн производилось только под наблюдением опытных преподавателей и через многочисленные проверки.. Нас спрашивают часто об успеваемости учеников, которые не посещают лекции, прогуливают их без причин, как же им удается найти интеграл самим. Мы отвечаем, что студенты народ свободный и вполне могут проходить обучение экстерном, готовясь к зачету или экзамену в комфортных домашних условиях. За считанные секунды наш сервис поможет каждому желающему вычислить интеграл от любой заданной функции по переменной. Проверить полученный результат следует взятием производной от первообразной функции. При этом константа от решения интеграла обращается в ноль. Это правило, очевидно, для всех. Существует не много таких сайтов, которые в считанные секунды выдают пошаговый ответ, а главное с высокой точностью и в удобном виде. Но не нужно забывать и о том, как имеется возможность найти интеграл с помощью готового сервиса, проверенного временем и испытанного на тысячах решенных примеров в режиме онлайн.
Найти неопределённый интеграл (множество первообразных или "антипроизводных") означает восстановить функцию по известной производной этой функции. Восстановленное множество первообразных F (x ) + С для функции f (x ) учитывает константу интегрирования C . По скорости перемещения материальной точки (производной) может быть восстановлен закон движения этой точки (первообразная); по ускорению движения точки - её скорость и закон движения. Как видно, интегрирование - широкое поле для деятельности Шерлоков Холмсов от физики. Да и в экономике многие понятия представляются через функции и их производные и поэтому, например, можно по производительности труда в определённый момент времени (производной) восстановить объём продукции, выпущенный в соответствующее время.
Чтобы найти неопределённый интеграл, требуется довольно небольшое количество основных формул интегрирования. Но процесс его нахождения значительно труднее, чем одно лишь применение этих формул. Вся сложность относится не к интегрированию, а к приведению интегрируемого выражения к такому виду, который даёт возможность найти неопределённый интеграл по упомянутым выше основным формулам. Это означает, что для начала практики интегрирования нужно активизировать полученные в средней школе навыки преобразования выражений.
Учиться находить интегралы будем, пользуясь свойствами и таблицей неопределённых интегралов из урока об основных понятиях этой темы (откроется в новом окне).
Существует несколько методов нахождения интеграла, из которых метод замены переменной и метод интегрирования по частям - обязательный джентльменский набор каждого, кто успешно сдал высшую математику. Однако начинать осваивать интегрирование полезнее и приятнее с применением метода разложения, основанном на следующих двух теоремах о свойствах неопределённого интеграла, которые для удобства повторим здесь.
Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.
Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.
(2)
Кроме того, в интегрировании может пригодиться следующее правило: если выражение подынтегральной функции содержит постоянный множитель, то выражение первообразной домножается на число, обратное постоянному множителю, то есть
(3)
Поскольку этот урок - вводный в решение задач интегрирования, важно отметить две вещи, которые либо уже на самом начальном этапе, либо несколько позже могут вас удивить. Удивление связано с тем фактом, что интегрирование - операция обратная дифференцированию и неопределённый интеграл можно справедливо называть "антипроизводной".
Первая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании. В таблице интегралов существуют формулы, которые не имеют аналогов среди формул таблицы производной . Это следующие формулы:
Однако можно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями.
Вторая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании . Хотя производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию, неопределённые интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями . Примерами таких интегралов могут быть следующие:
Для выработки техники интегрирования пригодятся следующие навыки: сокращение дробей, деление многочлена в числителе дроби на одночлен в знаменателе (для получения суммы неопределённых интегралов), преобразование корней в степени, умножение одночлена на многочлен, возведение в степень. Эти навыки нужны для преобразований подынтегрального выражения, в результате которых должна получиться сумма интегралов, присутствующих в таблице интегралов.
Находим неопределённые интегралы вместе
Пример 1. Найти неопределённый интеграл
.
Решение. Видим в знаменателе подынтегрального выражения многочлен, в котором икс в квадрате. Это почти верный признак того, что можно применить табличный интеграл 21 (с арктангенсом в результате). Выносим из знаменателя множитель-двойку (есть такое свойство интеграла - постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, выше оно было упомянуто как теорема 3). Результат всего этого:
Теперь в знаменателе сумма квадратов, а это значит, что можем применить упомянутый табличный интеграл. Окончательно получаем ответ:
.
Пример 2. Найти неопределённый интеграл
Решение. Вновь применяем теорему 3 - свойство интеграла, на основании которого постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
Применяем формулу 7 из таблицы интегралов (переменная в степени) к подынтегральной функции:
.
Сокращаем получившиеся дроби и перед нами конечный ответ:
Пример 3. Найти неопределённый интеграл
Решение. Применяя сначала теорему 4, а затем теорему 3 о свойствах, найдём данный интеграл как сумму трёх интегралов:
Все три полученные интеграла – табличные. Используем формулу (7) из таблицы интегралов при n = 1/2, n = 2 и n = 1/5, и тогда
объединяет все три произвольные постоянные, которые были введены при нахождении трёх интегралов. Поэтому в аналогичных ситуациях следует вводить только одну произвольную постоянную (константу) интегрирования.
Пример 4. Найти неопределённый интеграл
Решение. Когда в знаменателе подынтегральной дроби - одночлен, можем почленно разделить числитель на знаменатель. Исходный интеграл превратился в сумму двух интегралов:
.
Чтобы применить табличный интеграл, преобразуем корни в степени и вот уже окончательный ответ:
Продолжаем находить неопределённые интегралы вместе
Пример 7. Найти неопределённый интеграл
Решение. Если мы преобразуем подынтегральную функцию, возведя двучлен в квадрат и разделив почленно числитель на знаменатель, то исходный интеграл станет суммой трёх интегралов.
Если определения из учебника слишком сложны и непонятны, прочитайте нашу статью. Мы постараемся максимально просто, “на пальцах” объяснить основные моменты такого раздела математики, как определенные интегралы. Как вычисляется интеграл, читайте в данной инструкции.
С геометрической точки зрения интеграл функции – это площадь фигуры, образуемой графиком данной функции и осью в пределах интегрирования. Запишите интеграл, проанализируйте функцию под интегралом: если подынтегральное выражение возможно упростить (сократить, вынести множитель на знак интеграла, разбить на два простых интеграла), сделайте это. Откройте таблицу интегралов, чтобы определить, производная какой функции стоит под интегралом. Ответ найден? Выпишете множитель, вынесенный за интеграл (если это имело место), запишите найденную из таблицы функцию, подставьте границы интеграла.
Конечно, здесь рассмотрены лишь самые простые варианты интегралов – определенные, на самом деле разновидностей интегралов великое множество, изучаются они в курсе высшей математики, математического анализа и дифференциальных уравнений в ВУЗах для студентов технических специальностей.
